Si tienes vínculos dentro de una misma página (anchors) y quieres que el desplazamiento entre ellos sea suave, olvídate de JavaScript y simplemente añade este CSS a dicha página:

Te recomiendo que revises el código de este ejemplo para que entiendas mejor cómo usarlo en tus propios proyectos.

En cuanto a la compatibilidad con navegadores, no tendrás problema en navegadores modernos, salvo en el nuevo Internet Explorer Safari.